تشكل قوانين الاحتمالية في الرياضيات مجموعة من القواعد والمبادئ التي توجه سلوك الأحداث العشوائية وتحسب احتمالات وقوع الأحداث المختلفة. وتشكل هذه القوانين الأساس الأساسي لدراسة الاحتمالات وتقييم الاحتمالات والتحليل الدقيق. الظواهر العشوائية.

قوانين الاحتمالات في الرياضيات

في الرياضيات، هناك أربعة قوانين رئيسية للاحتمالات، والتي يمكن تلخيصها على النحو التالي:

  • قانون جمع الاحتمالات:
  • ينص هذا القانون على أن احتمال وقوع عدة أحداث هو مجموع احتمالات كل حدث على حدة.
  • L(AUB) = L(A) + L(B) – L(A ∩ B)
  • قانون ضرب الاحتمالات:
  • يدور هذا القانون حول حساب احتمال وقوع حدثين مستقلين. إذا كان الحدثان A وB مستقلين، فإن احتمال وقوع كل منهما هو حاصل ضرب احتمال وقوع كل حدث على حدة.
  • ل(أ ∩ ب) = ل(أ) * ل(ب)
  • قانون الاحتمالية التكميلي:
  • يتم استخدام قانون الاحتمال التكميلي لحساب احتمال وقوع حدث معاكس (أو ذي صلة). إذا كان A حدثًا معينًا، فإن الاحتمال التكميلي لـ A هو احتمال حدوث شيء آخر غير A.
  • ل(أ) = 1 – ل(أ)
  • قانون الاحتمالية الإجمالية:
  • ينص هذا القانون على أن مجموع احتمالات جميع النتائج المحتملة لتجربة معينة يجب أن يساوي واحدًا. وهذا يعني أنه لا يمكن أن يحدث أي حدث على وجه اليقين، وأن جميع النتائج المحتملة مغطاة باحتمالات مجمعة تساوي واحدًا.

أمثلة على قوانين الاحتمالية الرياضية

يمكن الاطلاع على أمثلة لقوانين الاحتمالية الرياضية في الجدول التالي:

قانون مثال

قانون إضافة الاحتمالات

 صندوق به كرات ملونة الهدف هو حساب احتمالية اختيار كرة حمراء أو زرقاء. لنفترض أن احتمال اختيار كرة حمراء هو ثلاث من أصل عشر كرات حمراء، وأن احتمال اختيار كرة زرقاء هو أربعة من أصل عشرة كرات زرقاء.

  • L(أحمر U أزرق) = L(أحمر) + L(أزرق) – L(أحمر ∩ أزرق)
  • 3/10 + 4/10 – 1/10 = 3/5، وبالتالي فإن احتمال التقاط كرة حمراء أو زرقاء هو 3/5

قانون مضاعفة الاحتمالات

 هناك 3 كرات داخل الصندوق، كرة حمراء وكرة زرقاء وكرة خضراء. الهدف هو حساب احتمالية اختيار كرة حمراء واحتمالية اختيار كرة زرقاء، ثم:

  • احتمال التقاط كرة حمراء: 1/3، حيث توجد كرة حمراء واحدة من بين ثلاث كرات.
  • احتمالية التقاط كرة زرقاء: بعد التقاط كرة حمراء، تبقى كرة زرقاء وكرة خضراء واحدة، وبالتالي فإن احتمال التقاط كرة زرقاء هو 1/2.

استخدام ضرب الاحتمالات:

  • L(أزرق ∩ أحمر) = L(أزرق) * L(أحمر) = 1/3 & 1/2 = 1/6. احتمال التقاط كرة حمراء وكرة زرقاء هو 1/6.

قانون الاحتمالية التكميلية

 إذا كان احتمال نجاح الطالب في اختبار الرياضيات هو 0.8، فإن احتمال فشل الطالب (أي فشل) في الاختبار هو:

  • ل(فشل)=1-ل(نجاح)=1-0.8=0.2

قانون الاحتمالية الكلية

 إذا تم رمي عملة معدنية فإن النتيجتين المحتملتين هما ظهور قيمة العملة وظهور شعار العملة، حيث أن احتمال ظهور قيمة العملة هو 0.5 واحتمال ظهور شعار العملة: 0.5، ويمكن استخدام الاحتمال الإجمالي للتأكد من أن مجموع احتمالات النتائج متساوي:

  • L(قيمة العملة) + L(شعار العملة)= 0.5+ 0.5 = 1